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在思维过程中培养探究能力
2015-12-24 09:37:34   来源:   点击:


江苏省泰兴市姚王镇中心初中  叶晨  225402
摘要:新课程倡导探究能力的培养,注重数学思维过程的揭示和数学知识的建构。而传统的教学往往重“结果”轻“过程”,使学生头脑中形成的数学知识结构功能差,信息通道不畅,应用时不能成功提取。本文试从概念的形成过程、定理和公式的发展过程、解题思路的探求过程、被直觉掩盖的思维的反思过程四个方面,对数学探究思维的培养进行阐述。
关键词:新课程     思维过程     探究能力    途径
 
新课程强调:数学教学是学生作为主体,积极参与获取数学知识、进行数学探究思维活动的过程。但传统的教学方法往往只重视知识的传授,忽视了知识获得的过程,没有设计让学生理解形成“结果”的“过程”,从而使学生头脑中形成的数学知识网络结构功能差,没有数学知识之间的联系通道,导致信息通道不畅,应用时不能成功提取。
充分暴露数学思维过程,就是要设法打破数学已建立形成的“完美”的数学形式,交给学生一堆待建立的“数学积木”,使他们在搭建这奇妙美丽的数学宫殿活动中,将客观形态的知识体系内化为主观形态的认知结构,从中体会数学创新思维过程体系,培养他们的探究思维能力。下面结合本人的实践,从揭示数学思维过程的角度,谈谈培养学生探究思维能力的一些途径。
一、揭示概念形成过程,培养数学建模能力。
数学概念是从客观现实世界中抽象出来的,其定义大多通过:“展示实例—抽象本质属性—推广到一般同类事物”得出。因此,教师在暴露概念形成的过程中,要引导学生从实例出发,进行分析、联想、假设、抽象、概括,亲身经历一个由具体到抽象,概括事物本质,从而形成概念,建立数学模型的过程。
如对于平面直角坐标系的建立,如果仅按教科书的叙述,直接给出什么叫做平面直角坐标系,学生可能会疑虑重重,如产生这个数学模型是从哪里来的等疑问。这种概念作为“结果”直接抛给学生的做法,很难在学生的头脑中形成一个有效的认知结构,更不易于学生对建模数学思想的掌握。
所以我们从复习制作折线统计图开始,设计了问题1:某地2005年每月的平均气温如下表:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均气温(℃) 3 7 24 30 32 33 26 20 26 20 13 6
(1)根据上表中的数据,制成折线统计图;
(2)看图回答下列问题:
     ①哪个月平均气温最高?
     ②哪个月平均气温最低?是多少摄氏度?
     ③哪个月到哪个月,平均气温逐渐上升?
     ④哪个月到哪个月,平均气温逐渐上升?
通过问题1的复习,学生头脑里有了“1/4个平面直角坐标系”的概念,于是我们又设计了问题2:你能根据下表数据,制作折线图吗?
       某地2005年每月的平均气温如下表:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均气温(℃) -20 -15 3 7 12 24 32 30 23 10 4 -10
    请看教学片段:
    师:你会做吗?
    生:负数我不会做。噢,我会做了!拉下来。
    师:有道理,拉下来的意思就是将纵轴向下延伸,延长后,纵轴就是我们熟悉的……
生:数轴。
    师:对!不过这条数轴是竖着的。下面就请同学们画出问题2的折线图。
通过问题2的学习,学生从“1/4个平面直角坐标系”扩展到“1/2个平面直角坐标系”。在小学里,学生还学过了两种相关联的量,因此,我们根据两种相关联的量设计了问题3:用表中的数据画折线图。
一种量 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
另一种量 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
 
 
 
通过问题3的学习,学生从“1/2个平面直角坐标系”扩展到“整个平面直角坐标系”,从而在头脑中牢固地建立了平面直角坐标系这个重要的数学模型。这种通过师生共同构建的模型“样品”,是学生模仿建立数学模型的楷模。这种建模“样品”,贴近学生,接近生活,既可增强新奇感,激发求知欲,又能从中受到启迪,触类旁通,经过、假设、再求解,将处于模糊状态的“毛坯”型问题建构成数学模型。在整个过程中,学生是数学模型下的“设计师”,再现了微型的科研过程,学生的创造力得到了提高,探究思维得到了锻炼和升华。
二、揭示定理、公式发展过程,培养观察、猜想、归纳、推理能力。
由于受众多客观条件的制约,中学数学教材中只是通向成功的简捷的思维过程,一定程度上掩盖了数学的发现、创造和应用的思维活动过程。如果教师在教学中照本宣科,这将无疑会抑制学生的探索、发现和创新思维,阻碍学生思维的发展与能力的提高。因此,数学课堂教学应作为一种活动过程来进行,要自始自终让学生有活动的机会,使他们有创造的欲望,时时处于积极探究和创造的状态,在学生有了创新的心理指向,乘势而上,创造教学情境,“让学生通过重新发现数学来学习数学,以体现知识的发生、发展过程”,从中亲身体验创新发明的滋味。
 例如弦切角及其定理的教学,可设计与弦切角定理相关的一系列问题,启发、引导学生层层深入发现概念和定理。先复习“圆内接四边形的性质定理”,接着利用几何画板出示图1,提出∠PAD与哪一个角相等?再将直线PQ渐渐下移,直至使直线PQ与圆O相切于点A,如图2,并利用几何画板的度量功能显示在运动过程中 这两个角的度数变化,猜想∠PAD会与哪个角相等?引导学生通过观察、动手操作、相互到了讨论、大胆猜想得出:∠PAD=∠ACD,接着教师引导学生自主探索,得出证明,最后引出弦切角定义和定理。

 
 
 
 
 
通过这样的尝试探究,巧妙地把教学重点、难点嵌放到尝试练习中,既注意到了学生认知过程的特点,又注意到了数学知识的逻辑性、连续性、系统性,使学生在探究中体验到知识的发生和建构过程,达到了思有源泉、思有方向、思有顺序、思有所获,不仅促使了知识的迁移,更培养了学生的观察、猜想、归纳、推理能力。
三、揭示解题思路探求过程的艰难性,培养探究毅力和勇于探索的创新精神。
数学是思维的体操,数学活动离不开思维,要使学生学会科学的思维方法,形成科学的探究思维能力,教师在解题过程中,应善于暴露解题思路的探寻过程。
(1)暴露教师自身探求解题思路的思维过程。
让学生看到教师的思维过程,是培养学生思维深刻性、正确性的大前提。教师进行题教学,一定要再现课前自己分析问题,寻找解题思路的思维过程,不能拿个完善的解答给学生,说出来似自然而下,从天而降,学生看不到教师失败、受困与挣脱困境的过程,无法体验“失败是成功之母”这条真理的真实性,学生学到的只是一道题的解答,只是一招一式,思维能力无所上进,甚至失去学习的信心。华罗庚教授把这种现象喻为“只把做好的饭拿出来,而没有做饭的过程”。因此,教师讲解例题,决不能只给出解答,即使是绝妙的解答对学生的思维培养作用也不大,重要的是让学生能从教师的分析过程中,知道怎样去发现解题途径,只有教师不断地把自己的思维方式、方法暴露给学生,把解题方法潜移默化地交给学生,用以指导学生的解题活动,锻炼学生的解题意志,才能使学生的自我探究能力得以提高。
(2)暴露学生寻找解题思路的思维过程。
在解题教学中,针对思维的“焦点”,恰到好处地对学生进行引导和点拨,从而充分发挥学生参与学习的积极性,挖掘出学生的内在的潜力,留下一定的思维时间和空间,让学生学会“思在知识的转折点,思在问题的疑难处,思在矛盾的解决上,思在真理的探求中”,让学生的思维在问题的“焦点”处暴露、增长。
如计算: (n为自然数)
此题一出,许多学生感到茫然失措,不知n、a、b的具体数量,又不易求出a与b之间数量关系。如何求解出具体的答案呢?
老师:先不急于求值,先请说出n是什么数?
学生:自然数。
老师:2n是偶数,还是奇数?
学生:是偶数。
老师:-12n和(-1)2006有怎样的关系?
学生:一个是-1,一个是1,互为相反数。
至此,学生纷纷喊出:答案等于零。
老师:这道题目的成功解出,给我们什么启迪?(学生讨论)
学生:以后做习题应先观察、分析题目而后动手做。
老师:对,不论是做数学中的生题、难题,还是你在今后生活中解决新出现的问题,都应学会先从分析和观察问题入手,找出问题的内在联系和规律。而后按规律办事,这样,你定能成为生活的成功者。
实践告诉我们,要教给学生一种解题技术或解题方法,如果教师和盘端出,而忽视学生的主动参与积极探索,往往收效甚微。但如果教师能根据教学内容,创设适宜情境,诱发学生积极思维,促进学生主动探求解题思路,这不仅能激发学生的学习兴趣,而且能加深学生对新的解题技巧、方法的理解和认识,培养学生积极的探究意识和探究能力。若长期受到这种氛围的熏陶,学生一定会蕴积一股对新现象、新事物进行探索的强大内动力——创新意识,形成强烈的探索新现象、新事物发展方向的思维能力。
四、反思被直觉所掩盖的思维过程,培养元认知能力。
由于直觉在人的思维中起着一定的作用,因此在教学中,教师通常出现不自觉地掩盖思维环节的现象,这说明要“再现”数学发现的过程,暴露思维过程的艰难性,也就是说,有时很难用富有逻辑的方法顺理成章地“再现”被直觉所掩盖了的思维过程。现举一例予以说明:如图3,已知△ABC中,AC:BC=1:3,AD为BC边上的中线,AD⊥AC,求tan∠BAD.许多同学会这样分析:由中点条件联想到三角形中位线,为此,取AB中点E,连结D、E,(如图3) 可证DE∥AC且DE=1/2AC,从而构造了Rt△AED,便于求出tan∠BAD。

 
 
 
但如果反思一下,这里作出辅助线的思维过程掩盖在“联想”二字后面。几何中关于中点的定理很多,又是什么原因驱使你在这个问题中想到“中位线定理”,而想不到其它定理和方法呢?这大概只能因为“探索性活动具有偶然性”,或者联想本身就是一种富有逻辑成分的直觉方法,也带有偶然性。
但人的直觉的产生总是有根据的,由直觉而引发的数学过程终就掩藏着理性活动的背景,因此,对数学思维活动的成果总可以设计出一个理想的“再发现”过程。所以上题可以这样设计一个反思和“再发现”程序:
老师:构造中位线的目的是什么?
学生:构造Rt△AED,从而利用三角函数定义求tan∠BAD。
老师:构造直角三角形,为何非要使得∠ADE是直角?能否过D作DF⊥AB于F呢?(如图4)为什么?
学生:(思考后)不行,如果作DF⊥AB,则tan∠BAD= ,需求出DF、AF,而此辅助线的作法,使 和“中点”条件不能发挥作用,不能求出DF、AF。
通过反思,学生认识到:本题辅助线的添加并不是由“中点”条件联想得到的,而主要是由“求三角函数值必须在直角三角形中进行”决定的,而构造直角三角形方法又不止一种,究竟如何作垂线,这又面临着一个反复探索,不断尝试的过程,正是在这个过程中,学生的探索能力得到淋漓尽致的发挥。因此在数学教学中,教师应启发学生多反思,努力捕捉那些容易被直觉掩盖了的思维过程,不断地反省自己所采取的策略是否适当,并及时调整自己的加工过程。通过反思,强化学生思维过程的自我监控、自我调节,使元认知能力得到补充、丰富和完善,从而使元认知能力得到实际的锻炼和提高。
综观上述思维过程所蕴涵的丰富内涵,就应该承认,真实的数学思维过程确实是数学教学中最有意义的成分。要把数学教学变成学生愿意参加的、感兴趣的、富有魅力的活动,应该全力以赴地揭示数学的思维过程,培养学生的探究性思维能力。
参考文献
1.曹才翰,章建跃.数学教育心理学.北京师范大学出版社.1999.12第1版
2.朱水梅. 数学教学中的滑过现象及防止对策.中小学数学(初中版),2004.9
 
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